Question

【題目】已知函數(shù)，，其中.

（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，由得出和，然后對和的大小關(guān)系進行分類討論，分析導(dǎo)數(shù)符號，可得出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間；

（2）由，得出，得出，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為，其中，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，可得出實數(shù)的取值范圍.

（1）函數(shù)的定義域為，

.

當(dāng)時，令，可得或.

①當(dāng)時，即當(dāng)時，對任意的，，

此時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

②當(dāng)時，即當(dāng)時，

令，得或；令，得.

此時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；

③當(dāng)時，即當(dāng)時，

令，得或；令，得.

此時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；

（2）由題意，可得，可得，其中.

構(gòu)造函數(shù)，，則.

，令，得.

當(dāng)時，；當(dāng)時，.

所以，函數(shù)在或處取得最小值，

，，則，，.

因此，實數(shù)的取值范圍是.