Question

【題目】已知橢圓（），若橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最短距離為，且右焦點(diǎn)到直線的距離等于短半軸的長，已知，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析：（1）利用橢圓C上的一動(dòng)點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最短距離為，且右焦點(diǎn)到直線x=

的距離等于短半軸的長．已知點(diǎn)P（4，0），列出方程組，求出a，b，即可求橢圓C的方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程的方程組，設(shè)點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），利用韋達(dá)定理，代入向量的數(shù)量積求解即可．

試題解析：

（1）由題意橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最短距離為，且右焦點(diǎn)到直線的距離等于短半軸的長，已知點(diǎn)，知，解得，

故橢圓的方程.

（2）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為.

由，得①

設(shè)點(diǎn)， ，

，

，

，

，

∵，

即.