Question

【題目】已知R，函數(shù)．

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍；

（3）求函數(shù)在上的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切線的斜率求出a的值即可；（2）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減轉(zhuǎn)為在上恒成立，分離參數(shù)轉(zhuǎn)為求最值問題；（3）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)性可求函數(shù)最值．

（1）因，則．

而直線的斜率為，則，得．

（2）由在上單調(diào)遞減，得在上恒成立，

即在上恒成立，得．

（3）由于，，所以

當(dāng)時(shí)，，在上遞增，故；

當(dāng)時(shí)，，在上遞減，故；

當(dāng)時(shí)，由得，，．

在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

在上最小值只能是或．

令 ，則，，

，

于是，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

所以，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，．

綜上，在上的最小值為