Question

【題目】已知拋物線：的焦點是橢圓的一個焦點.

（1）求拋物線的方程；

（2）設，，為拋物線上的不同三點，點，且.求證：直線過定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）橢圓的焦點為，由題意可知，由此即可求出拋物線的方程；

（2）設直線的方程為，與拋物線聯(lián)立得，可得，再根據(jù)，可得，列出方程代入，化簡可得，再因式分解可得或，再代入方程進行檢驗，即可求出結(jié)果.

（1）因為橢圓的焦點為，

依題意，，，所以：

（2）設直線的方程為，與拋物線聯(lián)立得，

設，，

則，

由，則，即，

所以

即，

整理得到，

所以，

化簡得即，

解得或.

當時，直線的方程為，即為，即直線過定點；

當時，直線的方程為，即為，即直線過定點，此時與點重合，故應舍去，

所以直線過定點.