Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=aex﹣blnx，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為 ．
（1）求a，b；
（2）證明：f（x）＞0．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=aex﹣blnx，

求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=aex﹣ （x＞0）

∵曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為 ，

∴f（1）= ，f′（1）= ﹣1，

∴ae= ，ae﹣b= ﹣1，

∴a= ，b=1；

（2）證明：函數(shù)f（x）=ex﹣2﹣lnx，

由y=ex﹣2﹣（x﹣1）的導(dǎo)數(shù)y′=ex﹣2﹣1，

當(dāng)x＞2時，導(dǎo)數(shù)y′＞0，函數(shù)y遞增；

當(dāng)x＜2時，導(dǎo)數(shù)y′＜0，函數(shù)y遞減．

可得函數(shù)y在x=2處取得極小值也為最小值0，

即有ex﹣2≥x﹣1；

由y=lnx﹣（x﹣1）的導(dǎo)數(shù)為y′= ﹣1，

當(dāng)x＞1時，導(dǎo)數(shù)y′＜0，函數(shù)y遞減；

當(dāng)0＜x＜1時，導(dǎo)數(shù)y′＞0，函數(shù)y遞增．

可得函數(shù)y在x=1處取得極大值也為最大值0，

即有l(wèi)nx≤x﹣1；

由于等號不同時取得，

則ex﹣2＞lnx，

即有f（x）＞0成立

【解析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程，可得f（1）= ，f′（1）= ﹣1，由此可求a，b的值；（2）構(gòu)造函數(shù)y=ex﹣2﹣（x﹣1），求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得函數(shù)的最小值；構(gòu)造y=lnx﹣（x﹣1），求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最大值，故可得證．
【考點精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．