Question

【題目】已知 =（sinx，cos2x）， =（ cosx，1），x∈R，設(shè)f（x）= ．
（1）求f（x）的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a=2，f（A）=1，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= = sinxcosx+cos2x= + =sin（2x+ ）+

由﹣ +2kπ ，得﹣ +kπ ，（k∈Z）

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[﹣ ， ]，（k∈Z）

（2）解：由f（A）=sin（2A+ ）+ =1得sin（2A+ ）=

∵A∈（0，π）∴

∴ ．

由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，

∴bc≤4

SABC= = ，∴△ABC面積的最大值為

【解析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式整理得到f（x）=sin（2x+ ）+ ，由正弦函數(shù)的增區(qū)間整體思想代入即可求出正弦型函數(shù)的增區(qū)間。（2）由已知整理可得sin（2A+ ）= ，根據(jù)角A的取值范圍得到2 A + 的取值范圍，進(jìn)而得到角A的值，再根據(jù)余弦定理得到關(guān)于b、c的代數(shù)式，利用基本不等式可得到bc≤a2 ，即bc≤4。再根據(jù)三角形面積公式即可求出最大值。