Question

【題目】如圖，曲線是以原點(diǎn)O為中心、為焦點(diǎn)的橢圓的一部分，曲線是以O為頂點(diǎn)、為焦點(diǎn)的拋物線的一部分，A是曲線和的交點(diǎn)且為鈍角，若，.

（1）求曲線和的方程；

（2）過作一條與軸不垂直的直線，分別與曲線依次交于B、C、D、E四點(diǎn)，若G為CD中點(diǎn)、H為BE中點(diǎn)，問是否為定值？若是求出定值；若不是說明理由.

Answer 1

【答案】（1）橢圓方程為，拋物線方程為； （2）見解析。

【解析】

（1）因?yàn)樵跈E圓中2a＝|AF1|+|AF2|6，所以可求曲線C1方程．因?yàn)榍�線C2是以O為頂點(diǎn)、F2為焦點(diǎn)的拋物線的一部分，A是曲線C1和C2的交點(diǎn)．|AF1|，|AF2|，所以利用拋物線定義，可求曲線C2方程；

（2）先設(shè)出B、C、D、E四點(diǎn)坐標(biāo)，過F2作的與x軸不垂直的直線方程，在分別與橢圓方程，拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系，求的值，看結(jié)果是否為定值．

（1）設(shè)橢圓方程為，則，得

設(shè)，，則，，

兩式相減得，由拋物線定義可知，

則，或，（舍去）

所以橢圓方程為，拋物線方程為。

另解：過作垂直于x軸的直線，即拋物線的準(zhǔn)線，作AH垂直于該準(zhǔn)線，

作軸于，則由拋物線的定義得，

所以

，

，得，所以c＝1，

，

所以橢圓方程為，拋物線方程為。

（2）設(shè)，，，，

直線，代入得，，即，

則，

同理，將代入得：，

則，，

所以

為定值.