Question

【題目】已知過(guò)點(diǎn)A(0，1)且斜率為k的直線(xiàn)l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點(diǎn)．

(1)求k的取值范圍；

(2)若＝12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.

Answer 1

【答案】（1）；（2）2．

【解析】試題分析：（1）由題意可得，直線(xiàn)l的斜率存在，用點(diǎn)斜式求得直線(xiàn)l的方程，根據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑求得k的值，可得滿(mǎn)足條件的k的范圍．

（2）由題意可得，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M、N、A的直線(xiàn)方程為y=kx+1，根據(jù)直線(xiàn)和圓相交的弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解

試題解析：（1）由題意可得，直線(xiàn)l的斜率存在，

設(shè)過(guò)點(diǎn)A（0，1）的直線(xiàn)方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．

由已知可得圓C的圓心C的坐標(biāo)（2，3），半徑R=1．

故由，解得： ．

故當(dāng)，過(guò)點(diǎn)A（0，1）的直線(xiàn)與圓C： 相交于M，N兩點(diǎn)．

（2）設(shè)M；N，

由題意可得，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M、N、A的直線(xiàn)方程為y=kx+1，代入圓C的方程，

可得，

∴，

∴，

由，解得 k=1，

故直線(xiàn)l的方程為 y=x+1，即 x-y+1=0．圓心C在直線(xiàn)l上，MN長(zhǎng)即為圓的直徑．所以|MN|=2