Question

已知如圖，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABD=45°，∠CBD=30°．
（Ⅰ）異面直線AB、CD所成的角為α，異面直線AC、BD所成的角為β，求證：α=β；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的余弦值的絕對(duì)值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）證明AO⊥面BCD，建立空間直角坐標(biāo)系，確定向量的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論；
（Ⅱ）求出平面ABC、平面ACD一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角B-AC-D的余弦值的絕對(duì)值．
解答：（Ⅰ）證明：設(shè)BD的中點(diǎn)為O，∠BAD=90°，∠ABD=45°，∴∠BDA=45°，即AB=AD，∴AO⊥BD．
∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥面BCD．
以過O點(diǎn)垂直于BD的直線為x軸，以直線BD為y軸，以直線OA為z，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)．
∴，
∴，，
∴，．
∵0°＜α，β≤90°，∴α=β．…6分
（Ⅱ）解：設(shè)分別是平面ABC、平面ACD一個(gè)法向量，
∴，即，
∴，不妨取，得．
同理可求得，
∴，
所以二面角B-AC-D的余弦值的絕對(duì)值為．…12分．
點(diǎn)評(píng)：本題考查空間角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，確定平面的法向量，正確利用公式是關(guān)鍵．