Question

如圖，三棱錐P－ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一點(diǎn)，且CD⊥平面PAB．

(Ⅰ)求證：AB⊥平面PCB；

(Ⅱ)求異面直線AP與BC所成角的大小；

(Ⅲ)求二面角C－PA－B的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(Ⅰ)∵PC平面ABC，平面ABC，∴PCAB． 　　∵CD平面PAB，平面PAB，∴CDAB． 　　又，∴AB平面PCB． 　　(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC，且AF＝BC，連結(jié)PF，CF．則為異面直線PA與BC所成的角． 　　由(Ⅰ)可得AB⊥BC，∴CFAF．由三垂線定理，得PFAF．則AF＝CF＝，PF＝， 　　在中，tan∠PAF＝＝，即∠PAF＝． 　　∴異面直線PA與BC所成的角為． 　　(Ⅲ)取AP的中點(diǎn)E，連結(jié)CE、DE． 　　∵PC＝AC＝2，∴CEPA，CE＝． 　　∵CD平面PAB，由三垂線定理的逆定理，得DEPA． 　　∴為二面角C－PA－B的平面角． 　　由(Ⅰ)AB平面PCB，又∵AB＝BC，AC＝2，∴BC＝． 　　在中，PB＝，． 　　在中，． 　　∴二面角C－PA－B的大小為． 　　解法二：(Ⅰ)同解法一． 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)AB平面PCB，∵PC＝AC＝2，又∵AB＝BC，可求得BC＝． 　　以B為原點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)系．則，，，． 　　＝(，－，2)，＝(，0，0)． 　　∴＝＝． 　　∴異面直線AP與BC所成的角為． 　　(Ⅲ)設(shè)平面PAB的法向量為＝(x，y，z)． 　　＝(0，－，0)，＝(，－，2)， 　　則，即，令z＝－1，得． 　　設(shè)平面PAC的法向量為＝()．＝(0，0，－2)，＝(，－，0)， 　　則，即，令＝1，得＝(1，1，0)． 　　＝，即二面角C－PA－B的大小為arcos．