Question

如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分PC，且分別交AC、PC于D、E兩點(diǎn)，又PB=BC，PA=AB．
（Ⅰ）求證：PC⊥平面BDE；
（Ⅱ）若點(diǎn)Q是線段PA上任一點(diǎn)，求證：BD⊥DQ；
（Ⅲ）求線段PA上點(diǎn)Q的位置，使得PC∥平面BDQ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證PC⊥平面BDE，只需證明PC垂直平面BDE內(nèi)的兩條相交直線BE、DE即可．
（Ⅱ）點(diǎn)Q是線段PA上任一點(diǎn)，要證BD⊥DQ，只需證明BD垂直平面PAC即可；
（Ⅲ）點(diǎn)Q在線段PA的

1

3

處，此時PC∥QD，利用直線與平面平行的判定，可證得PC∥平面BDQ．

解答：（Ⅰ）證明：由等腰三角形PBC，得BE⊥PC
又DE垂直平分PC，
∴DE⊥PC
∴PC⊥平面BDE，（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ），有PC⊥BD
因?yàn)镻A⊥底面ABC，所以PA⊥BD
BD⊥平面PAC，所以點(diǎn)Q是線段PA上任一點(diǎn)都有
BD⊥DQ（8分）

（Ⅲ）解：不妨令PA=AB=1，有PB=BC=

2

計算得AD=

3

3

=

1

3

AC所以點(diǎn)Q在線段PA的

1

3

處，
即AQ=

1

3

AP時，PC∥QD，從而PC∥平面BDQ．（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．