Question

（2012•鐵嶺模擬）如圖，三棱錐P-ABC中，PB⊥底面ABC，PB=BC=CA=4，E為PC的中點，M為AB的中點，點F在PA上，且AF=2FP．
（1）求證：BE⊥平面PAC；
（2）求證：CM∥平面BEF；
（3）求三棱錐F-ABE的體積．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直可得線線垂直，進而可得AC⊥平面PBC，即可得線線垂直，再利用線面垂直的判定，即可證得BE⊥平面PAC；
（2）取AF的中點G，AB的中點M，連接CG，CM，GM，利用線線平行證明線面平行，從而可得平面CMG∥平面BEF，利用面面平行的性質，可得線面平行；
（3）證明BE⊥平面PAC，利用等體積轉化可求三棱錐F-ABE的體積．

解答：（1）證明：∵PB⊥底面ABC，且AC?底面ABC，∴AC⊥PB            …（1分）
由∠BCA=90°，可得AC⊥CB                                      …（2分）
又∵PB∩CB=B，∴AC⊥平面PBC                               …（3分）
∵BE?平面PBC，∴AC⊥BE                                …（4分）
∵PB=BC，E為PC中點，∴BE⊥PC                               …（5分）
∵PC∩AC=C，∴BE⊥平面PAC                               …（6分）
（2）證明：取AF的中點G，AB的中點M，連接CG，CM，GM，
∵E為PC中點，F(xiàn)A=2FP，∴EF∥CG．…（7分）
∵CG?平面BEF，EF?平面BEF，∴CG∥平面BEF．…（8分）
同理可證：GM∥平面BEF．
又CG∩GM=G，∴平面CMG∥平面BEF．…（9分）
∵CM?平面CDG，∴CM∥平面BEF．…（10分）
（3）解：由（1）可知BE⊥平面PAC
又PB=BC=4，E為PC的中點，∴BE=2

2

．
∵S△AEF=

1

3

S△PAC=

1

3

×

1

2

×AC×PC=

8

3

2

                            …（12分）
∴V_F-ABE=V_B-AEF=

1

3

×S△AEF×BE=

32

9

∴三棱錐F-ABE的體積為

32

9

．…（14分）

點評：本題考查線面垂直的判定與性質，考查線面平行，考查三棱錐體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．