Question

【題目】已知函數(shù)

（1）求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；

（2）若關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）12x﹣y﹣17＝0（2）（﹣3，﹣2）

【解析】

（1）將x＝2分別代入原函數(shù)解析式和導(dǎo)函數(shù)解析式，求出切點(diǎn)坐標(biāo)和切線(xiàn)斜率，由點(diǎn)斜式可得曲線(xiàn)y＝f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線(xiàn)方程；

（2）若關(guān)于x的方程f（x）+m＝0有三個(gè)不同的實(shí)根，則﹣m值在函數(shù)兩個(gè)極值之間，利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的兩個(gè)極值，可得答案．

解：（1）當(dāng)x＝2時(shí)，f（2）＝7

故切點(diǎn)坐標(biāo)為（2，7）

又∵f′（x）＝6x2﹣6x．

∴f′（2）＝12

即切線(xiàn)的斜率k＝12

故曲線(xiàn)y＝f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線(xiàn)方程為y﹣7＝12（x﹣2）

即12x﹣y﹣17＝0

（2）令f′（x）＝6x2﹣6x＝0，解得x＝0或x＝1

當(dāng)x＜0，或x＞1時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，

故當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)f（x）取極大值3，

當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)f（x）取極小值2，

若關(guān)于x的方程f（x）+m＝0有三個(gè)不同的實(shí)根，則2＜﹣m＜3，即﹣3＜m＜﹣2

故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（﹣3，﹣2）