Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面是矩形，面面，且是邊長為2的等邊三角形， ， 在上，且面

（1）求證： 是的中點；

（2）求直線與所成角的正切值；

（3）在上是否存在點，使二面角為直角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) (3)

【解析】試題分析：（1）連接AC交BD于E，連接ME，可得PA∥面MBD，且ME是平面PAC與平面MDB的交線，得PA∥ME，即M是PC的中點；

（2）取AD中點，由（1）知OA、OE、OP兩兩垂直，分別以OA、OE、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出所成角的余弦值，得到正弦值，進(jìn)一步得到直線PA與MB所成角的正切值；

（3）設(shè)在PA上是否存在點F，使二面角F﹣BD﹣M為直角，且，則由，得F（1﹣λ，0， ），分別求出平面MBD與平面FBD的一個法向量，由兩法向量垂直求得λ值，可得存在點F，使二面角F﹣BD﹣M為直角，此時．

試題解析：

（1）證明：連交于，連.∵是矩形，∴是中點.又面，且是面與面的交線，∴，∴是的中點.

（2）取中點，由（1）， ， 兩兩垂直.以為原點， ， ， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則各點坐標(biāo)為

， ， ， ， ， .

（3）設(shè)存在滿足要求，且，則由得，

平面的一個法向量為，

平面的一個法向量為， ，得，解得，故存在，使二面角為直角，此時.