Question

已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，離心率．
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)求的角平分線所在直線的方程；
(Ⅲ)在橢圓上是否存在關(guān)于直線對稱的相異兩點(diǎn)？
若存在，請找出；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）（2）（3）不存在滿足題設(shè)條件的點(diǎn)B和C.

有關(guān)解析幾何的問題，常常涉及曲線的方程，此時(shí)往往要注意利用有關(guān)曲線的定義來解決，同時(shí)還會(huì)涉及直線與有關(guān)曲線的交點(diǎn)問題，在處理過程中往往需要結(jié)合二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決
（I）設(shè)橢圓E的方程為，

將A（2，3）代入上式，得
∴橢圓E的方程為
（II）解法1：由（I）知，所以直線AF1的方程為：直線AF2的方程為：由點(diǎn)A在橢圓E上的位置知，直線l的斜率為正數(shù).設(shè)上任一點(diǎn)，則
若（因其斜率為負(fù)，舍去）.
所以直線l的方程為：
解法2：

（III）解法1：
假設(shè)存在這樣的兩個(gè)不同的點(diǎn)

由于M在l上，故       ①
又B，C在橢圓上，所以有兩式相減，得
即將該式寫為，并將直線BC的斜率和線段BC的中點(diǎn)，表示代入該表達(dá)式中，得    ②
①×2—②得，即BC的中點(diǎn)為點(diǎn)A，而這是不可能的.
∴不存在滿足題設(shè)條件的點(diǎn)B和C.
解法2：假設(shè)存在，則
得一元二次方程則是該方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得于是∴B，C的中點(diǎn)坐標(biāo)為又線段BC的中點(diǎn)在直線
即B，C的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），與點(diǎn)A重合，矛盾.∴不存在滿足題設(shè)條件的相異兩點(diǎn).