Question

已知圓C：x²＋(y－2)²＝5，直線l：mx－y＋1＝0.
(1)求證：對m∈R，直線l與圓C總有兩個不同交點；
(2)若圓C與直線l相交于A，B兩點，求弦AB的中點M的軌跡方程．

Answer 1

（1）見解析    （2）x²＋(y－)²＝

(1)解法一：直線mx－y＋1＝0恒過定點(0,1)，且點(0,1)在圓C：x²＋(y－2)²＝5的內部，
所以直線l與圓C總有兩個不同交點．
解法二：聯(lián)立方程，消去y并整理，得
(m²＋1)x²－2mx－4＝0.
因為Δ＝4m²＋16(m²＋1)>0，所以直線l與圓C總有兩個不同交點．
解法三：圓心C(0,2)到直線mx－y＋1＝0的距離d＝＝≤1<，
所以直線l與圓C總有兩個不同交點．
(2)設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，M(x，y)，聯(lián)立直線與圓的方程得(m²＋1)x²－2mx－4＝0，
由根與系數(shù)的關系，得x＝＝，
由點M(x，y)在直線mx－y＋1＝0上，當x≠0時，得m＝，代入x＝，得x[()²＋1]＝，
化簡得(y－1)²＋x²＝y(tǒng)－1，即x²＋(y－)²＝.
當x＝0，y＝1時，滿足上式，故M的軌跡方程為x²＋(y－)²＝.