Question

【題目】已知兩點(diǎn)A（2，3）、B（4，1），直線l：x+2y﹣2=0，在直線l上求一點(diǎn)P．
（1）使|PA|+|PB|最��；
（2）使|PA|﹣|PB|最大．

Answer 1

【答案】
（1）解：可判斷A、B在直線l的同側(cè)，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于l的對稱點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（x1，y1）．

則有 +2 ﹣2=0， （﹣ ）=﹣1．

解得

x1=﹣ ，

y1=﹣ ．

由兩點(diǎn)式求得直線A1B的方程為y= （x﹣4）+1，直線A1B與l的交點(diǎn)可求得為P（ ，﹣ ）．

由平面幾何知識可知|PA|+|PB|最小

（2）解：由兩點(diǎn)式求得直線AB的方程為y﹣1=﹣（x﹣4），即x+y﹣5=0．

直線AB與l的交點(diǎn)可求得為P（8，﹣3），它使|PA|﹣|PB|最大

【解析】先判斷A、B與直線l：x+2y﹣2=0的位置關(guān)系，即把點(diǎn)的坐標(biāo)代入x+2y﹣2，看符號相同在同側(cè)，相反異側(cè)．（1）使|PA|+|PB|最小，如果A、B在l的同側(cè)，將其中一點(diǎn)對稱到l的另一側(cè)，連線與l的交點(diǎn)即為P； 如果A、B在l的異側(cè)，則直接連線求交點(diǎn)P即可．（2）使|PA|﹣|PB|最大．如果A、B在l的同側(cè)，則直接連線求交點(diǎn)P即可；
如果A、B在l的異側(cè)，將其中一點(diǎn)對稱到l的另一側(cè)，連線與l的交點(diǎn)即為P．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用兩點(diǎn)式方程的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握直線的兩點(diǎn)式方程：已知兩點(diǎn)其中則：y-y1/y-y2=x-x1/x-x2．