Question

已知橢圓

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)的中心在原點，右頂點為A（2，0），其離心率與雙曲線

y 2

3

-

x

2

=1的離心率互為倒數．
（1）求橢圓的方程；
（2）設過橢圓頂點B（0，b），斜率為k的直線交橢圓于另一點D，交x軸于點E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比數列，求

k

2

的值．

Answer 1

分析：（1）確定雙曲線、橢圓的離心率，求出幾何量，即可求得橢圓的方程；
（2）由（1）得過B點的直線為y=kx+1，聯立直線y=kx+1與橢圓方程可求D的坐標，及k的取值范圍，由|BD|，|BE|，|DE|成等比，可得|BE|²=|BD||DE|，即（1-y_D）|y_D|=1，解方程可求得結論．

解答：解：（1）雙曲線

y 2

3

-

x

2

=1的離心率e=

2

3

，∴橢圓的離心率為

3

2

∵橢圓的長半軸長為a=2，

c

a

=

3

2

，∴c=

3

∴b²=a²-c²=1
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1；…（5分）
（2）由橢圓，設直線方程為y=kx+1，聯立

x2 4 +y2=1 y=kx+1

，可得（4k²+1）x²+8kx=0，…（6分）
所以xD=-

8k

1+4k2

，所以yD=

1-4k2

1+4k2

，…（8分）
依題意k≠0，k≠±

1

2

．
因為|BD|，|BE|，|DE|成等比數列，所以|BE|²=|BD||DE|，…（9分）
所以b²=（1-y_D）|y_D|，即（1-y_D）|y_D|=1，…（10分）
當y_D＞0時，y_D²-y_D+1=0，無解，…（11分）
當y_D＜0時，y_D²-y_D-1=0，解得yD=

1+ 5

2

或yD=

1+ 5

2

（舍去），…（10分）
所以

1-4k2

1+4k2

=

1+ 5

2

，解得k2=

2+ 5

4

…（12分）

點評：本題考查由橢圓的性質求解橢圓的方程，直線與橢圓的相交位置關系，考查等比數列的應用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．