Question

已知橢圓

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)的中心在原點(diǎn)，右頂點(diǎn)為A（2，0），其離心率與雙曲線

y 2

3

-

x

2

=1的離心率互為倒數(shù)．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過(guò)橢圓頂點(diǎn)B（0，b），斜率為k的直線交橢圓于另一點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比數(shù)列，求

k

2

的值．

Answer 1

（1）雙曲線

y 2

3

-

x

2

=1的離心率e=

2

3

，∴橢圓的離心率為

3

2

∵橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a=2，

c

a

=

3

2

，∴c=

3

∴b²=a²-c²=1
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1；…（5分）
（2）由橢圓，設(shè)直線方程為y=kx+1，聯(lián)立

x2 4 +y2=1 y=kx+1

，可得（4k²+1）x²+8kx=0，…（6分）
所以xD=-

8k

1+4k2

，所以yD=

1-4k2

1+4k2

，…（8分）
依題意k≠0，k≠±

1

2

．
因?yàn)閨BD|，|BE|，|DE|成等比數(shù)列，所以|BE|²=|BD||DE|，…（9分）
所以b²=（1-y_D）|y_D|，即（1-y_D）|y_D|=1，…（10分）
當(dāng)y_D＞0時(shí)，y_D²-y_D+1=0，無(wú)解，…（11分）
當(dāng)y_D＜0時(shí)，y_D²-y_D-1=0，解得yD=

1+ 5

2

或yD=

1+ 5

2

（舍去），…（10分）
所以

1-4k2

1+4k2

=

1+ 5

2

，解得k2=

2+ 5

4

…（12分）