Question

已知直線l₁：3x+4y-5=0與直線l₂：2x+y=0的交點(diǎn)為P．
（Ⅰ）直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且傾斜角是直線x-

3

y=0的傾斜角的兩倍，求m的方程；
（Ⅱ）直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l的方程．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)斜率公式，算出直線x-

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y=0的斜率，得到它的傾斜角為30°，所以直線m的斜率k'=tan60°=

3

，再聯(lián)解l₁與l₂方程得到它們的交點(diǎn)為P（-1，2），利用點(diǎn)斜式方程列式，化簡(jiǎn)即得直線m的方程．
（II）當(dāng)線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，求得方程2x+y=0符合題意；當(dāng)直線l不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為x+y+c=0，由P的坐標(biāo)代入計(jì)算得c=-1，從而得出l方程為x+y-1=0，最后綜合一下可得答案．

解答：解：（I）∵直線x-

3

y=0的斜率k=

3

3

，得它的傾斜角為30°，
∴直線m的傾斜角為60°，得它的斜率k'=tan60°=

3

，
聯(lián)解

3x+4y-5=0 2x+y=0

，得x=-1且y=2，
所以直線l₁與直線l₂交點(diǎn)為P（-1，2）．
因此，直線m的方程為y-2=

3

（x+1），化簡(jiǎn)得

3

x-y+2+

3

=0．
（II）①當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，符合題意，
此時(shí)直線l方程為y=-2x，即2x+y=0；
②當(dāng)直線l不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為x+y+c=0，
將P（-1，2）代入，得-1+2+c=0，解之得c=-1，
此時(shí)直線l方程為x+y-1=0．
綜上所述，直線l的方程為2x+y=0或x+y-1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題給出經(jīng)過(guò)兩條直線交點(diǎn)的一條直線，在滿足指定條件的情況下求直線的方程．著重考查了直線的基本量與基本形式、直線的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．