Question

【題目】是否存在a，b，c使等式（ ）2+（ ）2+（ ）2+…+（ ）2= 對(duì)一切n∈N*都成立若不存在，說(shuō)明理由；若存在，用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】解：取n=1，2，3可得 解得：a= ，b= ，c= ． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明（ ）2+（ ）2+（ ）2+…+（ ）2= = ．
即證12+22+…+n2= n（n+1）（2n+1），
①n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，∴等式成立；
②假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即12+22+…+k2= k（k+1）（2k+1）成立，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，等式左邊=12+22+…+k2+（k+1）2═ k（k+1）（2k+1）+（k+1）2= [k（k+1）（2k+1）+6（k+1）2]= （k+1）（2k2+7k+6）= （k+1）（k+2）（2k+3），
∴當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立；
由數(shù)學(xué)歸納法，綜合①②當(dāng)n∈N*等式成立，
故存在a= ，b= ，c= 使已知等式成立
【解析】分別取n=1，2，3，得到關(guān)于a，b，c的方程組解得即可，先根據(jù)當(dāng)n=1時(shí)，把n=1代入求值等式成立；再假設(shè)n=k時(shí)關(guān)系成立，利用變形可得n=k+1時(shí)關(guān)系也成立，綜合得到對(duì)于任意n∈N*時(shí)都成立
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解數(shù)學(xué)歸納法的定義(數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法)．