Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）若， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）詳見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出當(dāng)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程，即可得到所求切線方程；（Ⅱ）對(duì)進(jìn)行變形，得在恒成立，再構(gòu)造（），再對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，即可求出，即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出的零點(diǎn)或，分別對(duì)兩個(gè)零點(diǎn)的大小關(guān)系作為分類討論，即可得到函數(shù)的單調(diào)性.

試題解析：

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， ，∴切線的斜率，

又， 在點(diǎn)處的切線方程為，

即．

（Ⅱ）∵對(duì)， 恒成立，∴在恒成立，

令（），，

當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．

（Ⅲ）．

令，得或，

①當(dāng)時(shí)， 恒成立，∴在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)， ，

由，得或；由，得．

∴單調(diào)遞增區(qū)間為， ；單調(diào)減區(qū)間為．

③當(dāng)時(shí)， ，

由，得或；由，得．

∴單調(diào)增區(qū)間為， ，單調(diào)減區(qū)間為．

綜上所述：當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)增區(qū)間為， ，單調(diào)減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)增區(qū)間為， ，單調(diào)減區(qū)間為．