Question

【題目】在四棱錐中，側(cè)面底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，，，，，E，F分別為AD，PC的中點(diǎn)．

Ⅰ求證：平面BEF；

Ⅱ若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) .

【解析】

（1）連接交于，并連接，，由空間幾何關(guān)系可證得，利用線面平行的判斷定理可得平面.

（2）（法一）取中點(diǎn)，連，，，由二面角的定義結(jié)合幾何體的特征可知為二面角的平面角,計(jì)算可得二面角的余弦值為.

（法二）以為原點(diǎn)，、、分別為、、建立直角坐標(biāo)系，則平面法向量可�。�,平面的法向量,由空間向量的結(jié)論計(jì)算可得二面角的余弦值為.

（1）連接交于，并連接，，

，，為中點(diǎn)， ，且，

四邊形為平行四邊形， 為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，

， 平面，平面，平面.

（2）（法一）由為正方形可得， .

取中點(diǎn)，連，，，側(cè)面 底面，且交于， ，

面，又，為二面角的平面角,

又，，，

，所以二面角的余弦值為.

（法二）由題意可知 面， ，如圖所示，以為原點(diǎn)，、、分別為、、建立直角坐標(biāo)系，則，，，.

平面法向量可�。�,

平面中，設(shè)法向量為，則 ,

取,

，所以二面角的余弦值為.