Question

設(shè)不等式x²-2ax+a+2≤0的解集為M，若M⊆[1，4]，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析：M⊆[1，4]有兩種情況：其一是M=∅，此時(shí)△＜0；其二是M≠∅，此時(shí)△=0或△＞0，分三種情況計(jì)算a的取值范圍，再取并集，即得所求．

解答：解：M⊆[1，4]有兩種情況：其一是M=∅，此時(shí)△＜0；其二是M≠∅，此時(shí)△=0或△＞0，
分三種情況計(jì)算a的取值范圍．
設(shè)f （x）=x²-2ax+a+2，有△=（-2a）²-4（a+2）=4（a²-a-2）．…（2分）
（1）當(dāng)△＜0時(shí)，-1＜a＜2，M=∅⊆[1，4]．…（3分）
（2）當(dāng)△=0時(shí)，a=-1或2．
當(dāng)a=-1時(shí)，M={-1}?[1，4]，故舍去．
當(dāng)a=2時(shí)，M={2}⊆[1，4]．…（6分）
（3）當(dāng)△＞0時(shí)，有a＜-1或a＞2．
設(shè)方程f （x）=0的兩根為x₁，x₂，且x₁＜x₂，
那么M=[x₁，x₂]，由M⊆[1，4]可得 1≤x₁＜x₂≤4，故應(yīng)有f（1）≥0，f（4）≥0，
且f （x）=0的對(duì)稱(chēng)軸x=a∈[1，4]，即

f(1)≥0，f(4)≥0 1≤a≤4，△＞0

，…（8分）
∴

-a+3≥0 18-7a≥0 1≤a≤4 a＜-1或a＞2

，解得2＜a≤

18

7

．…（10分）
綜上可得，M⊆[1，4]時(shí)，a的取值范圍是 （-1，

18

7

]．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合關(guān)系中參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．