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        1. 【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,且AC=BD,平面PA⊥平面ABCD,E為PD的中點.

          (1)證明:PB∥平面AEC;
          (2)在△PAD中,AP=2,AD=2 ,PD=4,三棱錐E﹣ACD的體積是 ,求二面角D﹣AE﹣C的大。

          【答案】
          (1)證明:連結(jié)BD交AC于點O,連結(jié)EO.

          ∵ABCD是平行四邊形,∴O為BD的中點.

          又E為PD的中點,∴EO∥PB.

          ∵EO平面AEC,PB平面AEC,∴PB∥平面AEC.


          (2)解:∵在△PAD中, ,

          ∴AP2+AD2=PD2,∴∠PAD=90°,∴PA⊥AD.

          又∵平面PAD⊥平面ABC,∴PA⊥平面ABC,

          在平行四邊形ABCD中,AC=BD,∴ABCD為矩形,

          ∴AB,AD,AP兩兩垂直.

          如圖,以A為坐標原點, 的方向為x軸的正方向, 為單位長,建立空間直角坐標系A(chǔ)﹣xyz,

          ∵E為PD的中點,∴三棱錐E﹣ACD的高為 ,

          設(shè)AB=m(m>0),三棱錐E﹣ACD的體積 ,解得m=3=AB.

          ,

          設(shè)B(3,0,0)(m>0),則

          設(shè) 為平面ACE的法向量,

          ,即 ,取y=﹣1,得

          為平面DAE的法向量,

          由題設(shè)

          即二面角D﹣AE﹣C的大小是60°.


          【解析】(1)連結(jié)BD交AC于點O,連結(jié)EO,則EO∥PB,由此能證明PB∥平面AEC.(2)推導出PA⊥AD.則PA⊥平面ABC,以A為坐標原點, 的方向為x軸的正方向, 為單位長,建立空間直角坐標系A(chǔ)﹣xyz,利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣C的大小.
          【考點精析】利用直線與平面平行的判定對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行.

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