Question

已知實(shí)數(shù)，曲線與直線的交點(diǎn)為(異于原點(diǎn))，在曲線上取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平行于軸，交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平行于軸，交曲線于點(diǎn)，接著過(guò)點(diǎn)作平行于軸，交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平行于軸，交曲線于點(diǎn)，如此下去，可以得到點(diǎn)，，…,,… . 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，.
（Ⅰ）試用表示，并證明；   
（Ⅱ）試證明，且（）；
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，求證： （）.

Answer 1

見(jiàn)解析部分

（Ⅰ）點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組，所以,
解得： ，故，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823131243430116.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以故，故.
（Ⅱ）由已知，，，
即：，                     
所以
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823131243711212.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以.           
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明（）
○11當(dāng)時(shí)，成立；
○22假設(shè)當(dāng)時(shí)，有成立，（）
則當(dāng)時(shí)，   
所以      
所以當(dāng)時(shí)命題也成立，
綜上所述由○11，○22知（）成立.
(注：此問(wèn)答題如：只是由圖可知，而不作嚴(yán)格證明，得分一律不超過(guò)2分)
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，， ()，
所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823131244101157.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）知，
所以有.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823131244179421.gif" style="vertical-align:middle;" />，
所以，，
故有：