Question

點P是雙曲線

x2

4

-y2=1的右支上一點，M、N分別是圓(x+

5

)2+y2=1和圓(x-

5

)2+y2=1上的點，則|PM|-|PN|的最大值是

2+2

5

．

Answer 1

分析：先求出雙曲線的兩個焦點，則這兩點正好是兩圓的圓心，當且僅當點P與M、F₁三點共線以及P與N、F₂三點共線時所求的值最大，利用雙曲線的定義分別求得|PM|和|PN|，進而可求得此時|PM|-|PN|的值．

解答：解：雙曲線

x2

4

-y2中，如圖：
∵a=2，b=1，c=

a2+b2

=

5

，
∴F₁（-

5

，0），F(xiàn)₂（

5

，0），
∴|MP|≤|PF₁|+|MF₁|，…①
∵|PN|≥|PF₂|-|NF₂|，
可得-|PN|≤-|PF₂|+|NF₂|，…②
∴①②相加，得
|PM|-|PN|≤|PF₁|+|MF₁|-|PF₂|+|NF₂|
=（|PF₁|-|PF₂|）+|MF₁|+|NF₂|
∵|PF₁|-|PF₂|=2a=2

5

，|MF₁|=|NF₂|=1
∴|PM|-|PN|≤2

5

+1+1=2+2

5

故答案為：2+2

5

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質和雙曲線與圓的關系，屬于中檔題．著重考查了學生對雙曲線定義的理解和應用，以及對幾何圖形的認識能力．