Question

點(diǎn)P是雙曲線

x2

4

-y2=1右支上的點(diǎn)，直線l交雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，且P為線段AB的中點(diǎn)
（1）若P(2

2

，1)，求直線l的方程；
（2）若直線l的斜率為2，求l的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線l的方程代入

x2

4

-y2=0，利用P為線段AB的中點(diǎn)，即可求直線l的方程；
（2）設(shè)l：y=2x+m，聯(lián)立兩條漸近線得到交點(diǎn)坐標(biāo)，可得中點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程，求得m的值，即可求l的方程．

解答：解：（1）設(shè)直線l的方程為y=k（x-2

2

）+1，代入

x2

4

-y2=0，
可得（1-4k²）x²-8k(1-2

2

k)x+4(1-2

2

k)2=0
∵P為線段AB的中點(diǎn)
∴4

2

=

8k(1-2 2 k)

1-4k2

，∴k=

2

2

∴直線l的方程為y=

2

2

x-1；
（2）設(shè)l：y=2x+m，聯(lián)立兩條漸近線得到交點(diǎn)坐標(biāo)為A(-

2m

3

，-

m

3

)，B(-

2m

5

，

m

5

)，
從而得中點(diǎn)P(-

8m

15

，-

m

15

)，把P點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程，解得m²=15，
因?yàn)镻在右支，m＜0，所以m=-

15

，所以y=2x-

15

．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的漸近線方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．