Question

【題目】已知函數

（1）已知直線：，：.若直線與關于對稱，又函數在處的切線與垂直，求實數的值；

（2）若函數，則當，時，求證：

①；

②.

Answer 1

【答案】（1）（2）①證明見解析②證明見解析

【解析】

（1）首先根據直線關于直線對稱的直線的求法，求得的方程及其斜率.根據函數在處的切線與垂直列方程，解方程求得的值.

（2）

①構造函數，利用的導函數證得當時，，由此證得.

②由①知成立，整理得成立.利用構造函數法證得，由此得到，即，化簡后得到.

（1）由解得

必過與的交點.

在上取點，易得點關于對稱的點為，

即為直線，所以的方程為，即，其斜率為.

又因為，所以，，

由題意，解得.

（2）因為，所以.

①令，則，

則，

且，，

時，，單調遞減；

時，，單調遞增.

因為，所以，因為，

所以存在，使時，，單調遞增；

時，，單調遞減；時，，單調遞增.

又，所以時，，即，

所以，即成立.

②由①知成立，即有成立.

令，即.所以時，，

單調遞增；

時，，單調遞減，所以，即，

因為，所以，所以時，，

即時，.