Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F₂的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，若∠F₁PQ=60°，|PF₁|=|PQ|，則橢圓的離心率為（　�。�

• A、

  1

  3

• B、

  2

  3

• C、

  2 3

  3

• D、

  3

  3

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)|PF₁|=t，則由∠F₁PQ=60°，|PF₁|=|PQ|，推出PQ|=t，|F₁Q|=t，且F₂為PQ的中點(diǎn)，根據(jù)橢圓定義可知|PF₁|+|PF₂|=2a用t表示，根據(jù)等邊三角形的高，求出2c用t表示，再由橢圓的離心率公式e=

c

a

，即可得到答案．

解答：解：設(shè)|PF₁|=t，
∵|PF₁|=|PQ|，∠F₁PQ=60°，
∴|PQ|=t，|F₁Q|=t，
由△F₁PQ為等邊三角形，得|F₁P|=|F₁Q|，
由對(duì)稱性可知，PQ垂直于x軸，
F₂為PQ的中點(diǎn)，|PF₂|=

t

2

，
∴|F₁F₂|=

3

2

t，即2c=

3

2

t，
由橢圓定義：|PF₁|+|PF₂|=2a，即2a=t+

t

2

=

3

2

t，
∴橢圓的離心率為：e=

c

a

=

3 2 t

3 2 t

=

3

3

．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，離心率的求法，考查了學(xué)生對(duì)橢圓定義的理解和運(yùn)用．