Question

如圖，△OAB是邊長(zhǎng)為2的正三角形，記△OAB位于直線x=t（0＜t≤2）左側(cè)的圖形的面積為f（t），則
（Ⅰ）函數(shù)f（t）的解析式為

 

；
（Ⅱ）函數(shù)y=f（t）的圖象在點(diǎn)P（t₀，f（t₀））處的切線的斜率為

2 3

3

，則t₀=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）結(jié)合圖形，求出0＜t≤1時(shí)和1＜t≤2時(shí)滿(mǎn)足條件的圖形的面積，用分段函數(shù)表示f（t）的解析式；
（Ⅱ）由于函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處的切線的斜率為

2 3

3

，則解關(guān)于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為

2 3

3

方程，即可得到答案．

解答： 解：（Ⅰ）由圖形知，
當(dāng)0＜t≤1時(shí)，此時(shí)滿(mǎn)足條件的圖形面積為
f（t）=

1

2

•t•t•tan

π

3

=

3

2

t²；
當(dāng)1＜t≤2時(shí)，此時(shí)滿(mǎn)足條件的圖形面積為
f（t）=

1

2

×2×1×tan

π

3

-

1

2

•（2-x）•（2-x）•tan

π

3

=

3

-

3

2

（t-2）²；
∴函數(shù)f(t)=

3 2 t2，0＜t≤1 - 3 2 (t-2)2+ 3 ，1＜t≤2

；
（Ⅱ）函數(shù)y=f（t）的圖象在點(diǎn)P（t₀，f（t₀））處的切線的斜率為

2 3

3

，
則函數(shù)在點(diǎn)P（t₀，f（t₀））處的導(dǎo)數(shù)為

2 3

3

，
當(dāng)0＜t≤1時(shí)，f（t）=

3

2

t²，則f′（t）=

3

t，
即f′（t₀）=

3

t₀=

2 3

3

，解得t₀=

2

3

；
當(dāng)1＜t≤2時(shí)，f（t）=

3

-

3

2

（t-2）²，則f′（t）=-

3

（t-2），
即f′（t₀）=-

3

（t₀-2）=

2 3

3

，解得t₀=

4

3

，
故t₀=

2

3

或

4

3

．
故答案為：（Ⅰ）f(t)=

3 2 t2，0＜t≤1 - 3 2 (t-2)2+ 3 ，1＜t≤2

；（Ⅱ）

2

3

或

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)的解析式以及利用導(dǎo)數(shù)求切線問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)結(jié)合圖形，即可求出符合條件的解析式，是綜合題目．