Question

【題目】如圖，在三棱錐中，底面,為的中點(diǎn),.

（1）求證：平面；

（2）求點(diǎn)到平面的距離．

Answer 1

【答案】（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（2）點(diǎn)到平面的距離為.

【解析】

試題本題以三棱錐為幾何背景考查線面垂直的判斷和點(diǎn)到面的距離的求法，可以運(yùn)用傳統(tǒng)幾何法求解，突出考查空間想象能力和計(jì)算能力.第一問(wèn),先利用線面垂直平面，得到線線垂直，由等腰三角形，得，由上述兩個(gè)條件得平面；第二問(wèn)，利用第一問(wèn)可得面面，利用面面垂直的性質(zhì)，得到的距離即為到面的距離，在直角三角形中，用等面積法表示.法二：第二問(wèn)，等體積法求點(diǎn)面距離，，即，得.

試題解析：（1）因?yàn)?/span>平面，平面，

所以

又因?yàn)樵?/span>中，，為的中點(diǎn)，

所以

又平面，平面，且，

所以平面

（2）法一：因?yàn)?/span>平面且平面

所以平面平面，

又因?yàn)槠矫?/span>平面，

所以點(diǎn)到的距離即為點(diǎn)到平面的距離，

在直角三角形中，由

得

所以點(diǎn)到平面的距離為.

法二：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為， 據(jù)

即，得

所以點(diǎn)到平面的距離為.