Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，是棱的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）若，且，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）由及矩形可證平面，從而得，再由等腰三角形得一個(gè)垂直后可得線面垂直；

（2）以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系（其中是中點(diǎn)），寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出二面角的兩個(gè)面的法向量，由法向量夾角余弦值得二面角余弦值．

（1）由題意，知，，又，平面

平面，又平面，，由，得：

， 平面，平面

（2）由，，， 得：

取的中點(diǎn) ，連結(jié)，則，故，由（1）知：， ，

以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，于是，有：

， ， ， ， ，， ，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由得：

取得：，設(shè)平面的一個(gè)法向量為

則由得：，取得：，

二面角的余弦值為.