Question

【題目】雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，兩條漸近線(xiàn)的夾角為，直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于、.

（1）求雙曲線(xiàn)的方程；

（2）若過(guò)原點(diǎn)，為雙曲線(xiàn)上異于、的一點(diǎn)，且直線(xiàn)、的斜率為、，證明：為定值；

（3）若過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，是否存在軸上的點(diǎn)，使得直線(xiàn)繞點(diǎn)無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，都有成立？若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2）證明見(jiàn)解析

（3）存在，.

【解析】

（1）根據(jù)雙曲線(xiàn)所過(guò)的點(diǎn)和漸近線(xiàn)的夾角可得關(guān)于的方程組，解該方程組后可得雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)，，，用三點(diǎn)的坐標(biāo)表示，再利用點(diǎn)滿(mǎn)足的方程化簡(jiǎn)前者可得所求的定值.

（3）設(shè)直線(xiàn)為，，，根據(jù)可得恒等式，聯(lián)立直線(xiàn)方程和雙曲線(xiàn)方程后利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)前者可得，從而得到所求的定點(diǎn).

（1）雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，

因?yàn)閮蓷l漸近線(xiàn)的夾角為，故漸近線(xiàn)的傾斜角為或，

所以或.

又，故 或（無(wú)解），故，

所以雙曲線(xiàn).

（2）設(shè)，，，

故，，所以，

因?yàn)?/span>，所以即，

所以為定值.

（3）雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，

當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為：，設(shè)，，

因?yàn)?/span>，所以，

整理得到①，

由可以得到，

因?yàn)橹本�(xiàn)與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

故且，

所以.

由題設(shè)有①對(duì)任意的總成立，

因，

所以①可轉(zhuǎn)化為，

整理得到對(duì)任意的總成立，

故，故即所求的定點(diǎn)的坐標(biāo)為.

當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，則，此時(shí)或，

此時(shí).

綜上，定點(diǎn)的坐標(biāo)為.