Question

【題目】設(shè)函數(shù)， 為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）若函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，求實數(shù)， 的值；

（2）當(dāng)時，若存在， ，使成立，求實數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）， ;（2）.

【解析】【試題分析】（1）先依據(jù)題設(shè)運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程求解；（2）先不等式進行等價轉(zhuǎn)化與化歸，再夠 造函數(shù)運用導(dǎo)數(shù)知識分析求解：

（1）由已知得， ， ，

則，且，解之得， .

（2）當(dāng)時， .

又 = .

故當(dāng)，即時， .

“存在， 使成立”等價于“當(dāng)時，有”，

又當(dāng)時， ， ，

問題等價于“當(dāng)時，有”.

當(dāng)時， 在上為減函數(shù)，則 .

故；

②當(dāng)時， 在上的值域為.

（i）當(dāng)，即時， 在上恒成立，故在上為增函數(shù)，

于是 ，不合題意；

（ii）當(dāng)，即時，由的單調(diào)性和值域知.

存在唯一，使，且滿足

當(dāng)時， ， 為減函數(shù)；

當(dāng)時， ， 為增函數(shù).

所以 ， .

所以 ，與矛盾.

綜上，得的最小值為.