Question

【題目】函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)的解析式為 ．
（1）用定義證明f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
（2）求當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ ，任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2；

則f（x1）﹣f（x2）=（ ﹣1）﹣（ ﹣1）= ；

∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0；

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）；

∴f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)

（2）解：當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x＞0，

∵x＞0時(shí)， ，

∴f（﹣x）= ﹣1=﹣ ﹣1，

又∵f（x）是R上的偶函數(shù)，

∴f（﹣x）=f（x）

∴f（x）=﹣ ﹣1；

即x＜0時(shí)，f（x）=﹣ ﹣1

【解析】（1）用函數(shù)的單調(diào)性定義證明f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；（2）應(yīng)用偶函數(shù)的性質(zhì)f（﹣x）=f（x），與x＞0時(shí)f（x）的解析式，可以求出x＜0時(shí)f（x）的解析式．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．