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        1. (2012•鄭州二模)已知函數(shù)f(x)=
          1-x
          ax
          +lnx.
          (I)當(dāng)a=
          1
          2
          時,求f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;
          (II)若函數(shù)g(x)=f(x)-
          1
          4
          x在[1,e]上為增函數(shù),求正實數(shù)a的取值范圍.
          分析:(Ⅰ)求導(dǎo)數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,進而可得函數(shù)的極值與最值;
          (Ⅱ)求導(dǎo)函數(shù)g′(x)=
          -ax2+4ax-4
          4ax2
          (a>0)
          ,構(gòu)造函數(shù)h(x)=-ax2+4ax-4,由題意知,只需h(x)≥0在[1,e]上恒成立,從而可求正實數(shù)a的取值范圍.
          解答:解:(Ⅰ)當(dāng)a=
          1
          2
          時,f′(x)=
          x-2
          x2
          (x>0),
          ∴當(dāng)x∈[1,2]時,f′(x)<0;當(dāng)x∈(2,e]時,f′(x)>0,
          ∴f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減,在(2,e]上單調(diào)遞增,
          ∴f(x)在區(qū)間[1,e]上有唯一極小值點,
          故f(x)min=f(x)極小值=f(2)=ln2-1.
          又∵f(1)=0,f(e)=
          2-e
          e
          <0

          ∴f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值為f(x)max=f(1)=0.
          綜上可知,函數(shù)f(x)在[1,e]上的最大值是0,最小值是ln2-1.
          (Ⅱ)∵g(x)=f(x)-
          1
          4
          x,
          ∴g′(x)=
          -ax2+4ax-4
          4ax2
          (a>0)
          ,
          設(shè)h(x)=-ax2+4ax-4,由題意知,只需h(x)≥0在[1,e]上恒成立,
          因為a>0,h(x)圖象的對稱軸為x=2,
          所以只需h(1)=3a-4≥0,所以a≥
          4
          3
          點評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
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          (2012•鄭州二模)已知a∈(-
          π
          2
          ,0),sina=-
          3
          5
          ,則tan(π-a)=
          3
          4
          3
          4

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          (2012•鄭州二模)已知α∈(-
          π
          2
          ,0),sinα=-
          3
          5
          ,則cos(π-a)
          -
          4
          5
          -
          4
          5

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