Question

△ABC中內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量

m

=(2sinB，-

3

)，

n

=(cos2B，2cos2

B

2

-1)且

m

∥

n

．
（1）求銳角B的大��；
（2）如果b=1，求△ABC的面積S_△ABC的最大值．

Answer 1

分析：（1）由兩向量的坐標，及兩向量平行時滿足的關(guān)系列出關(guān)系式，利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后求出tan2B的值，由B為銳角，得到2B的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（2）由cosB的值及b的值，利用余弦定理列出關(guān)于a與c的關(guān)系式，利用基本不等式求出ac的最大值，再由sinB及ac的最大值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC面積的最大值．

解答：解：（1）∵

m

=（2sinB，-

3

），

n

=（cos2B，2cos²

B

2

-1），且

m

∥

n

，
∴2sinB•（2cos²

B

2

-1）=-

3

cos2B，即2sinBcosB=sin2B=-

3

cos2B，
∴tan2B=-

3

，
∵B∈（0，

π

2

），∴2B∈（0，π），
∴2B=

2π

3

，即B=

π

3

；
（2）∵B=

π

3

，b=2，
∴由余弦定理cosB=

a2+c2-b2

2ac

得：a²+c²-ac-4=0，
又a²+c²≥2ac，代入上式得：ac≤4（當且僅當a=c=2時等號成立），
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3

（當且僅當a=c=2時等號成立），
則S_△ABC的最大值為

3

．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：二倍角的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，基本不等式，余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．