Question

已知銳角△ABC中內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量

m

=（2sinB，

3

），

n

=（2cos²

B

2

-1，cos2B），且

m

⊥

n

．
（1）求B的大��；
（2）若sinA，sinB，sinC成等差數(shù)列，且

BA

•（

AC

-

AB

）=18，求b的值．

Answer 1

分析：（1）把向量

n

的坐標利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，再由

m

⊥

n

，得到其數(shù)量積為0，利用平面向量的數(shù)量積運算法則列出關系式，利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，由B為銳角，得到這個角的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（2）由sinA，sinB，sinC成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)列出關系式，利用正弦定理化簡，得到2b=a+b，再利用平面向量的數(shù)量積運算法則化簡

BA

•（

AC

-

AB

）=18，把cosB的值代入得到ac的值，利用余弦定理得：b²=a²+c²-2ac•cosB，把cosB及ac的值代入，配方后將a+c換為2b，得到關于b的方程，求出方程的解即可得到b的值．

解答：解：（1）∵向量

m

=（2sinB，

3

），

n

=（2cos²

B

2

-1，cos2B）=（cosB，cos2B），且

m

⊥

n

．
∴

m

•

n

=0，即2sinBcosB+

3

cos2B=sin2B+

3

cos2B=2sin（2B+

π

3

）=0，…（4分）
又∵0＜B＜

π

2

，∴2B+

π

3

=π，
∴B=

π

3

；…（6分）
（2）由sinA，sinB，sinC成等差數(shù)列得：2sinB=sinA+sinC，
由正弦定理得：2b=a+c，
∵

BA

•（

AC

-

AB

）=18，∴

BA

•

BC

=18，
即ac•cosB=18，可得ac=36，
由余弦弦定理得：b²=a²+c²-2ac•cosB=（a+c）²-3ac，
∴b²=4b²-3×36，即b²=36，
∴b=6．…（12分）

點評：此題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．