Question

【題目】如圖，在長方體A1B1C1D1﹣ABCD中，AD=CD=4，AD1=5，M是線段B1D1的中點．
（1）求證：BM∥平面D1AC；
（2）求直線DD1與平面D1AC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在長方體A1B1C1D1﹣ABCD中，

∵AD=4，AD1=5，∴DD1= =3，

以D為原點，DA，DA，DD1分別為xyz軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，

根據(jù)題意得A（4，0，0），B（4，4，0），C（0，4，0），D（0，0，0），

B1（4，4，3），D1（0，0，3），線段B1D1的中點為M（2，2，3），線段AC的中點為N（2，2，0）．

∴ =（﹣2，﹣2，3）， =（﹣2，﹣2，3）．∴ ∥ ，∴BM∥ND1．

∵BM平面D1AC，ND1平面D1AC，∴BM∥平面D1AC

（2）解：∵ =（0，0，3）， =（﹣4，4，0）， =（﹣4，0，3），

設(shè)平面D1AC的法向量為 =（x，y，z），

根據(jù)已知得 =﹣4x+4y=0，且 =﹣4x+3z=0，

取x=1，可得y=1，z= ，∴ =（1，1， ）是平面D1AC的一個法向量，

∴cos＜ ， ＞= = ，

∴直線DD1與平面D1AC所成角的正弦值等于

【解析】（1）以D為原點，DA，DA，DD1分別為xyz軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，由坐標(biāo)法可證 ∥ ，進(jìn)而可得BM∥ND1 ． 由線面平行的判定定理可得；（2）設(shè)平面D1AC的法向量為 =（x，y，z），根據(jù) =﹣4x+4y=0，且 =﹣4x+3z=0，可求，進(jìn)而可得cos＜ ， ＞，即得所求．
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．