Question

【題目】

已知橢圓的右焦點(diǎn)為，以橢圓與雙曲線兩條漸近線的四個交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為．

（1）求橢圓的方程；

（2）若點(diǎn)為橢圓上的兩點(diǎn)（不同時在軸上），點(diǎn)，證明：存在實(shí)數(shù)，當(dāng)三點(diǎn)共線時，為常數(shù)．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（1）雙曲線的漸近線方程為．

設(shè)直線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，

把代入橢圓的方程，可得，

易得橢圓與雙曲線兩條漸近線的四個交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為，（2分）

所以，所以，即，

因?yàn)?/span>，所以，

即，解得（負(fù)值舍去），所以，

所以橢圓的方程為．（5分）

（2）因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線，且不同時在軸上，所以直線的斜率不為，

設(shè)，代入橢圓方程消去，得．

設(shè)，則．（6分）

．（7分）

，

．

所以

．（10分）

只要，上式即為，與無關(guān)．（11分）

由，解得，此時．

即存在實(shí)數(shù)，當(dāng)三點(diǎn)共線時，為常數(shù)．