Question

【題目】已知橢圓的離心率為，焦距為，拋物線的焦點(diǎn)F是橢圓的頂點(diǎn).

（1）求與的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）上不同于F的兩點(diǎn)P，Q滿足以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)F，且直線PQ與相切，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）：，：；（2）

【解析】

（1）直接根據(jù)焦距和離心率計(jì)算得到橢圓方程，再根據(jù)拋物線焦點(diǎn)得到拋物線方程.

（2）聯(lián)立方程根據(jù)韋達(dá)定理得到，，根據(jù)得到，，再計(jì)算面積得到答案.

（1）設(shè)橢圓的焦距為，依題意有，，解得，，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

又拋物線開(kāi)口向上，故F是橢圓的上頂點(diǎn)，

，，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）顯然直線PQ的斜率存在.設(shè)直線PQ的方程為，

設(shè)，，則，，

因?yàn)橐?/span>PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)F，

即 ①

聯(lián)立，消去y整理得， ②

依題意，，是方程②的兩根，，

，，

將和代入①得，

解得，（時(shí)直線PQ過(guò)點(diǎn)F，不合題意，應(yīng)舍去）

聯(lián)立，消去y整理得，，

令，解得.

經(jīng)檢驗(yàn)，，符合要求.

此時(shí)，，

.