Question

已知雙曲線C的漸近線方程為，右焦點F（c，0）到漸近線的距離為．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過F作斜率為k的直線l交雙曲線于A、B兩點，線段AB的中垂線交x軸于D，求證：為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由漸近線方程為，可設(shè)雙曲線方程為3x²-y²=λ（λ＞0），由題知c=2，代入可求雙曲線方程
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x-2）代入，整理得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點P（x，y）則利用方程的根與系數(shù)的關(guān)系可求x，y．利用弦長公式可表示AB，然后由AB的垂直平分線方程可求D的坐標，進而求出FD，從而可求
解答：解：（1）設(shè)雙曲線方程為3x²-y²=λ（λ＞0）…（2分）
由題知c=2，∴，∴λ=3…（4分）
∴雙曲線方程為：…（5分）
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x-2）代入
整理得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0…（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點P（x，y）
則，代入l得：…（7分）
…（8分）
AB的垂直平分線方程為…（9分）
令y=0得…（10分）
∴…（11分）
∴為定值．…（12分）
點評：本題主要考查了由雙曲線的性質(zhì)求解雙曲線的方程，直線與曲線相交求解弦長，解題中要善于應(yīng)用兩直線垂直得斜率之間的關(guān)系．