Question

已知雙曲線C的漸近線為y=±

3

x且過點(diǎn)M（1，

2

）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線y=ax+1與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA與OB垂直，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可知：雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，進(jìn)而得到

b a = 3 1 a2 - 2 b2 =1

，解出即可；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立

y=ax+1 3x2-y2=1

，消去y可化為關(guān)于x的一元二次方程，可得△＞0及其根與系數(shù)的關(guān)系；由

OA

⊥

OB

，可得

OA

•

OB

=0，代入解出即可．

解答：解：（1）由題意可知：雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
則

b a = 3 1 a2 - 2 b2 =1

，解得

a2= 1 3 b2=1

，
∴雙曲線C的方程為3x²-y²=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立

y=ax+1 3x2-y2=1

，化為（3-a²）x²-2ax-2=0，（3-a²≠0）．
∵直線y=ax+1與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，∴△=4a²+8（3-a²）＞0，化為a²＜6．
∴x1+x2=

2a

3-a2

，x1x2=

-2

3-a2

．（*）
∵

OA

⊥

OB

，∴

OA

•

OB

=0．
∴x₁x₂+y₁y₂=0，又y₁=ax₁+1，y₂=ax₂+1，
∴（1+a²）x₁x₂+a（x₁+x₂）+1=0，
把（*）代入上式得

-2(1+a2)

3-a2

+

2a2

3-a2

+1=0，
化為a²=1．滿足△＞0．
∴a=±1．

點(diǎn)評(píng)：本題中考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與雙曲線相交問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)未知數(shù)的一元二次二次方程點(diǎn)到△＞0及其根與系數(shù)的關(guān)系、

OA

⊥

OB

?

OA

•

OB

=0等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了推理能力、計(jì)算能力．