Question

【題目】

如圖所示，在正三棱柱中，底面邊長為，側(cè)棱長為，是棱的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證:平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

【答案】解：(Ⅰ) 連結(jié)與交于，

則為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中位線，//. 又平面，平面//平面………………4分

（Ⅱ）(解法1)過作于，由正三棱柱的性質(zhì)可知，

平面，連結(jié)，在正中，

在直角三角形中，

由三垂線定理的逆定理可得.則為二面角的平面角，

又得，

，

∴.故所求二面角的大小為.………………8分

解法（2）（向量法）

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則

．

設(shè)是平面的一個法向量，則可得

，所以即取

可得

又平面的一個法向量設(shè)則

又知二面角是銳角,所以二面角的大小是……………………………………………………………………8分

（Ⅲ）設(shè)求點(diǎn)到平面的距離；因，所以，故，而………………10分

由……………12分

【解析】

(Ⅰ) 連結(jié)與交于，則為的中點(diǎn)，

為的中點(diǎn)，

為的中位線，

//．又平面，平面，

//平面……… ……4分

（Ⅱ）過作于，由正三棱柱的性質(zhì)可知，

平面，連結(jié)，在正中，

在直角三角形中，

由三垂線定理的逆定理可得.則為二面角的平面角，又得，

，

∴.故所求二面角的大小為.………………8分

解法（2）（向量法）

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則

.

設(shè)是平面的一個法向量，則可得

，所以即取可得

又平面的一個法向量設(shè)則

又知二面角是銳角,所以二面角的大小是……………………………………… ……………8分

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)到平面的距離；因，所以，故，而………… ……10分

由……… …12分