Question

【題目】已知拋物線的準(zhǔn)線為，為上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線，切點(diǎn)分別為.

（I）求證：是直角三角形；

（II）軸上是否存在一定點(diǎn)，使三點(diǎn)共線.

Answer 1

【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（II）存在.

【解析】

（I）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)以及切線方程，并將其與聯(lián)立消得，利用，得到，結(jié)合韋達(dá)定理得到，即可證明是直角三角形；

（II）設(shè)，由（I）可得，設(shè)出直線AB的方程與聯(lián)立消得，結(jié)合韋達(dá)定理得到，解得，得到直線過(guò)定點(diǎn)，即可證明軸上存在一定點(diǎn)，使三點(diǎn)共線.

（I）由已知得直線的方程為，設(shè)，切線斜率為，則切線方程為，將其與聯(lián)立消得.所以，化簡(jiǎn)得，所以，所以.即是直角三角形.

（II）由I知時(shí)，方程的根為

設(shè)切點(diǎn)，則.因?yàn)?/span>，所以.

設(shè)，與聯(lián)立消得，則，所以，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn).

即軸上存在一定點(diǎn)，使三點(diǎn)共線.