Question

【題目】如圖所示，矩形中，，平面，，為上的點，且平面.

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）由面，可得，所以，由面，可得.

由線面垂直的判定定理可得平面；（2）以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，過且垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面與平面的一個法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，可得平面與平面所成角的余弦值.

試題解析：（1）因為面，所以，

又，所以.

因為面，所以.

又，所以面，即平面.

（2）以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，過且垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)點的坐標(biāo)為，，，，

設(shè)平面的法向量，平面的法向量為，易知，

令，則，故，令，得，，

于是， .

此即平面與平面所成角的余弦值.