Question

【題目】已知圓，點(diǎn)坐標(biāo)為．

（1）如圖1，斜率存在且過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)．①若，求直線的斜率；②若，求直線的斜率．

（2）如圖2，為圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，為中點(diǎn)，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①或1；②或；（2）；

【解析】

（1）設(shè)直線的方程為：，，，聯(lián)立直線與圓的方程，消元列出韋達(dá)定理，由，則，即，即可求出的值；由，則，解方程組即可；

（2）連結(jié)，依題意可得，可得，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，即可得動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)的軌跡；

解：（1）設(shè)直線的方程為：，，．

聯(lián)立方程得：，消去整理可得：．

恒成立，

由韋達(dá)定理可得：①，②．

又，，即．

整理可得：．

將①②代入可得：．

，化簡得：．

直線的斜率的值為或1．

（2）點(diǎn)，，．

，，整理可得．

都在圓上，，即．

③-④可得：．

將代入解得：．

此時(shí)，直線的斜率的值為或．

（3）如圖，連結(jié)．

，，

又為中點(diǎn)，．

為圓上兩點(diǎn)，，

又為中點(diǎn)，．

，又，．

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

，整理可得：．

點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓．

．