Question

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率等于，它的一個頂點(diǎn)恰好在拋物線的準(zhǔn)線上．

求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

點(diǎn)，在橢圓上，是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點(diǎn)當(dāng)運(yùn)動時(shí)，滿足，試問直線的斜率是否為定值，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由橢圓的一個頂點(diǎn)恰好在拋物線的準(zhǔn)線上，可得，解得又，，聯(lián)立解得即可；設(shè)，，由，則PA，PB的斜率互為相互數(shù)，可設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為，直線PA的方程為：，與橢圓的方程聯(lián)立化為，利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式即可得出．

設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

橢圓的一個頂點(diǎn)恰好在拋物線的準(zhǔn)線上，

，解得．

又，，

，，

可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

設(shè)，，

，則PA，PB的斜率互為相互數(shù)，

可設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為，

直線PA的方程為：，

聯(lián)立，

化為，

，

同理可得：，

，，

．

直線AB的斜率為定值．