Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B=B1A=AB=BC，∠B1BC=90°，D為AC的中點，AB⊥B1D．
（1）求證：平面ABB1A1⊥平面ABC；
（2）在線段CC1（不含端點）上，是否存在點E，使得二面角E﹣B1D﹣B的余弦值為 ？若存在，求出 的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AB中點為O，連接OD，OB1．

因為B1B=B1A，所以OB1⊥AB．

又AB⊥B1D，OB1∩B1D=B1，所以AB⊥平面B1OD，

因為OD平面B1OD，所以AB⊥OD．

由已知，BC⊥BB1，又OD∥BC，

所以OD⊥BB1，因為AB∩BB1=B，

所以OD⊥平面ABB1A1．

又OD平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABB1A1

（2）解：由（1）知，OB，OD，OB1兩兩垂直．

以O為坐標原點， 的方向為x軸的方向，| |為單位長度1，建立如圖所示的空間直角坐標系O﹣xyz．

由題設知B1（0，0， ），B（1，0，0），D（0，1，0），A（﹣1，0，0），C（1，2，0），C1（0，2， ）．

∴ =（0，1，﹣ ）， =（1，0，﹣ ），

設 =λ ，（0＜λ＜1），則 = =（1﹣λ，2， ），

設平面BB1D的法向量 =（x，y，z），

則 ，取z=1，得 =（ ），

設平面B1DE的法向量 =（x，y，z），

則 ，取z=1，得 =（ ， ，1），

∵二面角E﹣B1D﹣B的余弦值為 ，

∴﹣|cos＜ ＞|=﹣ =﹣ =﹣ ，

解得λ= ，

∴在線段CC1（不含端點）上，存在點E，使得二面角E﹣B1D﹣B的余弦值為 ，且 = ．

【解析】（1）取AB中點為O，連接OD，OB1 ． 推導出OB1⊥AB，AB⊥B1D，從而AB⊥平面B1OD，進而AB⊥OD．再求出BC⊥BB1 ， OD⊥BB1 ， 從而OD⊥平面ABB1A1 ． 由此能證明平面ABC⊥平面ABB1A1 ． （2）以O為坐標原點， 的方向為x軸的方向，| |為單位長度1，建立如圖所示的空間直角坐標系O﹣xyz．利用向量法求出在線段CC1（不含端點）上，存在點E，使得二面角E﹣B1D﹣B的余弦值為 ，且 = ．
【考點精析】認真審題，首先需要了解平面與平面垂直的判定(一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直)．